Quantificazione dell’incertezzaMetodi di ingegneria

Inferenza bayesiana e UQ

Non una singola risposta — una distribuzione di risposte, con una fiducia calibrata. Il Markov-Chain Monte Carlo adatta un modello a dati rumorosi e quantifica quanto dovresti esserne sicuro: posteriori che corrispondono alla forma chiusa dove ne esiste una, bande di credibilità sulle previsioni, confronto tra modelli e una verifica di copertura.

DjiniousLabModellazione e simulazione

Distribuzioni a posteriori di due parametri con la loro densità congiunta correlata e una traccia MCMC ben mescolata

MCMC vs posteriore analitico (differenza sulla media): 0.002MCMC vs posteriore analitico (differenza sulla media)
R̂ di Gelman–Rubin (convergente): 1.001R̂ di Gelman–Rubin (convergente)
copertura degli intervalli al 90%: 86%copertura degli intervalli al 90%
intervalli di credibilità che contengono il valore vero: ✓intervalli di credibilità che contengono il valore vero
notebook di progettazione: 10notebook di progettazione
requisiti PASS: 5 / 5requisiti PASS

La risposta onesta è una distribuzione, non un numero.

Ogni altro modello di questo portfolio dà una sola risposta. Ma adatta un modello a dati rumorosi e la risposta corretta non è «il tasso è 0,7» — è «0,7, ed ecco esattamente quanto ne sono sicuro». L’inferenza bayesiana produce proprio questo: una distribuzione a posteriori completa sui parametri, e un’incertezza calibrata su ogni previsione. Il Markov-Chain Monte Carlo è il motore. Questo programma lo costruisce a partire dal caso coniugato che puoi verificare a mano, fino a calibrare un modello dinamico e confrontarne diversi tra loro — e completa ogni altro flagship, perché l’incertezza può avvolgerli tutti.

Comincia da dove puoi verificare la risposta esattamente.

Per alcuni modelli il posteriore è analitico — un prior Beta e dati binomiali danno un posteriore Beta, in forma chiusa. Il programma parte da lì, osservando il posteriore che si affina sul valore vero man mano che arrivano i dati, perché è il caso in cui un campionatore può essere validato fino all’ultima cifra. Metti a punto il meccanismo dove puoi verificarlo, poi fidatene dove non puoi.

Una distribuzione a posteriori Beta-Binomiale che si affina sul valore vero man mano che si osservano più dati — L’ancora di correttezza: con un prior coniugato il posteriore è analitico, e si affina visibilmente sul valore vero man mano che i dati si accumulano. L’unico caso in cui la risposta è esatta — il benchmark che ogni campionatore del programma deve riprodurre.

Marginali a posteriori MCMC per due parametri, la loro densità congiunta, e una traccia ben mescolata — Il protagonista — MCMC di Metropolis–Hastings: un campionatore scritto da zero recupera i parametri di un modello come distribuzioni a posteriori complete (in alto), la loro densità congiunta correlata (in basso a sinistra), a partire da una catena ben mescolata (in basso a destra). Ogni marginale è centrata sul valore vero, e l’istogramma si sovrappone esattamente al posteriore analitico. Il motore del calcolo bayesiano moderno, costruito da zero.

Un adattamento di cui non puoi dubitare è un adattamento di cui non puoi fidarti.

I minimi quadrati tracciano una sola retta tra i dati e si fermano. La regressione bayesiana traccia l’intero posteriore di rette — e la dispersione di quel ventaglio, stretta dove i dati sono densi e ampia dove sono radi, *è* l’incertezza. Questa è la differenza tra una previsione e una previsione su cui puoi agire: non solo la stima migliore, ma quanto potrebbe essere sbagliata, ovunque.

Un ventaglio di rette di regressione campionate dal posteriore attraverso dati rumorosi, che si allarga dove i dati sono radi — Il ventaglio è l’incertezza: invece di un’unica retta di miglior adattamento, la regressione bayesiana dà un posteriore di rette. Dove i dati vincolano il modello le rette si addensano; dove non lo fanno, si aprono a ventaglio. Un’unica retta ai minimi quadrati butta via tutto questo.

Calibra un modello dinamico — con barre d’errore.

Lo stesso meccanismo inferisce i parametri di una ODE. Date osservazioni rumorose di un segnale in decadimento, MCMC recupera il tasso di decadimento come posteriore (centrato sul valore vero), e propagando quel posteriore in avanti attraverso il modello si ottiene una banda predittiva a posteriori — una previsione che porta con sé la propria incertezza. E il programma verifica che l’incertezza sia onesta: su molte repliche, gli intervalli di credibilità al 90% contengono il valore vero circa il 90% delle volte. Calibrazione, verificata.

Una traiettoria di decadimento ODE calibrata su dati rumorosi con una banda di credibilità predittiva a posteriori — Calibrazione del modello con incertezza: MCMC inferisce la costante di velocità di una ODE in decadimento a partire da osservazioni rumorose e propaga il posteriore in avanti in una banda predittiva al 90% intorno alla traiettoria. Una previsione che sa quanto è incerta — e i cui intervalli sono calibrati per contenere il valore vero.

Lascia che siano i dati a scegliere il modello — e penalizza la complessità.

Dati modelli concorrenti — una retta contro una parabola — quale sostengono i dati? Un modello più complesso si adatta sempre meglio ai dati di addestramento, quindi il confronto onesto penalizza la complessità. Il criterio di informazione bayesiano fa esattamente questo, e su una scansione di gradi polinomiali raggiunge il minimo esattamente al grado vero: abbastanza flessibilità per adattarsi al segnale, non di più. Il rasoio di Occam, reso quantitativo.

Un criterio di confronto tra modelli minimizzato al grado polinomiale vero — Il rasoio di Occam, quantificato: tra i vari gradi polinomiali il criterio di informazione è minimizzato al grado che ha generato i dati — abbastanza complesso da catturare il segnale, penalizzato se va oltre. I dati scelgono il proprio modello, e l’overfitting viene penalizzato.

Ogni numero ridedotto in fase di collaudo finale.

Il notebook V&V ricostruisce ogni campionatore da zero con seed fissi e ridefinisce i requisiti rispetto alla teoria, stampando un quadro PASS/FAIL.

Risultato

MCMC vs posteriore analitico: differenza sulla media 0,002
Recupero dei parametri (IC ∋ valore vero): 1,85 / 0,53
R̂ multi-catena: 1,001
Copertura dell’intervallo predittivo: 86%
Confronto tra modelli (BIC): grado vero

Requisito

MCMC vs posteriore analitico: R-01
Recupero dei parametri (IC ∋ valore vero): R-02
R̂ multi-catena: R-03 ≈ 1
Copertura dell’intervallo predittivo: R-04 ≈ 90%
Confronto tra modelli (BIC): R-05

Il paradigma del campionamento, ancorato alla teoria.

Il deliverable è composto da dieci notebook e dal dossier — campionatori MCMC e posteriori, non una rete acausale, quindi non c’è alcun blocco personalizzato né canvas. Il campionatore è Metropolis–Hastings a passeggiata casuale (non HMC/NUTS basato su gradiente), le verosimiglianze sono gaussiane, le catene hanno lunghezza modesta, i modelli sono a bassa dimensionalità, il confronto tra modelli usa un criterio di informazione anziché una verosimiglianza marginale completa, e nulla è calibrato su un dataset del mondo reale. Ciò che il programma dimostra è il paradigma bayesiano stesso — una distribuzione di risposte con incertezza calibrata — validato rispetto a posteriori in forma chiusa dove esistono, e che arriva alla calibrazione di modelli dinamici, alla propagazione dell’incertezza e al confronto tra modelli dove non esistono. È lo strato di incertezza che può avvolgere qualsiasi altro flagship.

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