ElettromagnetismoMetodi di ingegneria

Elettromagnetismo (FDTD)

Risolvere le equazioni di Maxwell su una griglia — i campi elettrico e magnetico che si susseguono a salti nello spazio e nel tempo. Un risolutore FDTD autonomo riproduce i fenomeni ondulatori canonici: irradiazione, rifrazione, diffrazione, diffusione e risonanza di cavità. Il fratello a campo del CFD, in elettromagnetismo.

DjiniousLabModellazione e simulazione

Fronti d’onda elettromagnetici concentrici che si irradiano verso l’esterno da una sorgente puntiforme su una griglia

velocità dell’onda (celle/passo, passo magico): 1.000velocità dell’onda (celle/passo, passo magico)
risonanza di cavità contro modo analitico: 0.5%risonanza di cavità contro modo analitico
indice di rifrazione di Snell contro √εr: +2.5%indice di rifrazione di Snell contro √εr
riflessione tagliata dal contorno assorbente: 14 dBriflessione tagliata dal contorno assorbente
notebook di progettazione: 10notebook di progettazione
requisiti PASS: 5 / 5requisiti PASS

Guarda un’onda obbedire alle equazioni di Maxwell, cella per cella.

I campi elettromagnetici riempiono lo spazio ed evolvono secondo le equazioni di Maxwell — e puoi risolverli direttamente su una griglia, lasciando che i campi elettrico e magnetico si susseguano a salti nel tempo in modo sincronizzato. Questo è il metodo Finite-Difference Time-Domain, il cavallo di battaglia dell’elettromagnetismo computazionale (HFSS, CST, COMSOL-RF). Questo programma costruisce da zero un risolutore FDTD e lo usa per riprodurre, un notebook alla volta, i fenomeni ondulatori che ogni corso di fisica insegna: un’onda che irradia, rifrange, diffrange, diffonde e risuona. È il fratello a campo del prodotto di punta CFD.

Due equazioni di rotore, che si susseguono a salti su una griglia sfalsata.

Le equazioni del rotore di Maxwell dicono che un campo magnetico variabile genera un campo elettrico e viceversa. FDTD le discretizza sulla griglia di Yee — componenti dei campi elettrico e magnetico intercalate nello spazio e aggiornate alternativamente nel tempo — così la simulazione fa letteralmente avanzare l’onda passo dopo passo. L’unica regola che non puoi infrangere è il limite di stabilità di Courant: fai un passo troppo lungo per tick e il campo esplode. Fallo bene e una sorgente puntiforme irradia fronti d’onda circolari puliti esattamente alla velocità della luce.

Fronti d’onda elettromagnetici concentrici che si irradiano da una sorgente puntiforme attraverso la griglia — Il protagonista: una sorgente puntiforme che irradia fronti d’onda elettromagnetici concentrici attraverso la griglia di Yee — il campo elettrico che avanza verso l’esterno alla velocità della luce, esattamente come richiedono le equazioni di Maxwell. L’intero programma è costruito su questo aggiornamento; tutto il resto è ciò che metti sulla strada dell’onda.

Metti del vetro sul percorso e l’onda rallenta e si piega.

Inserisci nella griglia una regione a maggiore permittività — vetro, acqua, un qualsiasi dielettrico — e l’onda rallenta al suo interno. Parte riflette all’interfaccia, parte trasmette con una lunghezza d’onda compressa, e il rapporto tra le lunghezze d’onda è esattamente l’indice di rifrazione √εr — la legge di Snell, che emerge dall’aggiornamento del campo senza alcuna legge di rifrazione codificata. Il risolutore la riproduce entro un paio di punti percentuali, errore di dispersione compreso.

Un’onda che entra in una regione a maggiore permittività, parzialmente riflettendo e trasmettendo con una lunghezza d’onda più corta — Rifrazione da principi primi: un’onda che attraversa un dielettrico (metà destra) riflette parzialmente e trasmette parzialmente con una lunghezza d’onda compressa; il rapporto tra le lunghezze d’onda è l’indice di rifrazione. La legge di Snell non è programmata — deriva dalla risoluzione delle equazioni di Maxwell sulla griglia.

Un’onda piana che attraversa una fenditura stretta e si diffonde in fronti d’onda circolari di Huygens — Diffrazione: un’onda piana che colpisce uno schermo conduttore con una fenditura stretta non proietta un’ombra netta — si diffonde in fronti d’onda circolari oltre l’apertura, con ogni punto della fenditura che agisce come una nuova sorgente. Il principio di Huygens, osservato direttamente.

Un conduttore proietta un’ombra e diffonde il resto.

Invia un’onda piana contro un cilindro conduttore e due cose accadono contemporaneamente: un pattern di onda stazionaria si forma davanti mentre l’onda incidente e quella riflessa interferiscono, e un’ombra silenziosa si forma dietro. Diffusione e ombreggiamento sono il modo in cui il radar vede, in cui l’ambiente circostante distorce un’antenna, e in cui si giudica una forma stealth — e derivano direttamente dal forzare il campo a zero sul conduttore.

Un’onda piana che si diffonde da un cilindro conduttore, con interferenza davanti e un’ombra dietro — Diffusione: un’onda piana che colpisce un cilindro conduttore costruisce un pattern di interferenza davanti e lascia un’ombra dietro. La stessa fisica che permette al radar di rilevare un bersaglio e costringe i progettisti di antenne a tenere conto di tutto ciò che è vicino all’apertura — risolta sulla griglia.

Chiudi la scatola e solo certe note sopravvivono.

Intrappola il campo in una scatola conduttrice e non può irradiarsi via — invece risuona alle frequenze di risonanza della cavità, l’equivalente elettromagnetico delle note di una canna d’organo. Applica un impulso a banda larga e trasforma secondo Fourier la risposta, e i picchi dello spettro cadono sui modi di cavità analitici entro mezzo punto percentuale; applicalo a una risonanza e il corrispondente pattern di modo a onda stazionaria riempie la scatola. Risonatori, filtri e guide d’onda vivono tutti su questa fisica.

Il pattern di modo a onda stazionaria di una cavità risonante eccitata alla sua frequenza fondamentale — Risonanza di cavità: eccitata alla sua fondamentale, una scatola conduttrice risuona nel modo a onda stazionaria TM₁₁ — un singolo antinodo centrale. Le frequenze di risonanza misurate corrispondono ai modi di cavità analitici entro lo 0,5%. La base di ogni risonatore, filtro e guida d’onda a microonde.

Ogni numero riderivato all’approvazione finale.

Il notebook di V&V ricostruisce da zero il risolutore e rideriva ogni requisito rispetto alla teoria, stampando un quadro PASS/FAIL.

Risultato

Velocità dell’onda (passo magico): 1,000
Stabilità di Courant: limitata
Lunghezza d’onda contro c/f: +3,7%
Indice di Snell contro √εr: 2,05 contro 2,00
Risonanza di cavità: 0,5%

Requisito

Velocità dell’onda (passo magico): R-01 = 1,000
Stabilità di Courant: R-02
Lunghezza d’onda contro c/f: R-03
Indice di Snell contro √εr: R-04
Risonanza di cavità: R-05

Un vero risolutore a campo, a fedeltà didattica.

Il deliverable è dieci notebook e il dossier — un campo di Maxwell discretizzato, non una rete concentrata acausale, quindi non c’è blocco personalizzato né canvas. Il risolutore è 2D (trasverso-magnetico), in unità normalizzate, a risoluzione di griglia modesta — quindi c’è una dispersione numerica misurabile, il cilindro e gli schermi usano contorni conduttori a gradini, il contorno assorbente è un bordo con perdite rastremato anziché un PML completo a campo diviso, e i mezzi sono non dispersivi e lineari. Ciò che il programma dimostra è la capacità che mancava al portafoglio insieme al CFD — risolvere le equazioni di Maxwell come campo su una griglia — con un risolutore autonomo (nessuna dipendenza EM esterna) che riproduce irradiazione, rifrazione, diffrazione, diffusione e risonanza, ogni numero rieseguibile e verificato contro la teoria. Si accoppia naturalmente con il prodotto di punta del radar SAR.