ÉlectromagnétismeMéthodes d’ingénierie

Électromagnétisme (FDTD)

Résoudre les équations de Maxwell sur une grille — les champs électrique et magnétique progressant en léapfrog dans l’espace et le temps. Un solveur FDTD autonome reproduit les phénomènes ondulatoires canoniques : rayonnement, réfraction, diffraction, diffusion et résonance de cavité. Le pendant en électromagnétisme du solveur de champ CFD.

DjiniousLabModélisation et simulation

Des fronts d’onde électromagnétiques concentriques rayonnant vers l’extérieur depuis une source ponctuelle sur une grille

vitesse de l’onde (cellules/pas, pas magique): 1.000vitesse de l’onde (cellules/pas, pas magique)
résonance de cavité contre mode analytique: 0.5%résonance de cavité contre mode analytique
indice de réfraction de Snell contre √εr: +2.5%indice de réfraction de Snell contre √εr
réflexion réduite par la frontière absorbante: 14 dBréflexion réduite par la frontière absorbante
notebooks de conception: 10notebooks de conception
exigences RÉUSSIES: 5 / 5exigences RÉUSSIES

Regardez une onde obéir aux équations de Maxwell, cellule par cellule.

Les champs électromagnétiques remplissent l’espace et évoluent selon les équations de Maxwell — et vous pouvez les résoudre directement sur une grille, en laissant les champs électrique et magnétique progresser en léapfrog dans le temps, pas à pas. C’est la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD), le cheval de bataille de l’électromagnétisme numérique (HFSS, CST, COMSOL-RF). Ce programme construit un solveur FDTD à partir de zéro et l’utilise pour reproduire, un notebook à la fois, les phénomènes ondulatoires que chaque cours de physique enseigne : une onde qui rayonne, se réfracte, diffracte, diffuse et résonne. C’est le pendant en électromagnétisme du solveur CFD phare.

Deux équations de rotationnel, progressant en léapfrog sur une grille décalée.

Les équations de rotationnel de Maxwell disent qu’un champ magnétique variable crée un champ électrique et vice versa. FDTD les discrétise sur la grille de Yee — les composantes des champs électrique et magnétique entrelacées dans l’espace et mises à jour alternativement dans le temps — de sorte que la simulation fait littéralement avancer l’onde. La seule règle qu’on ne peut pas enfreindre est la limite de stabilité de Courant : avancer trop par pas et le champ explose. Bien fait, une source ponctuelle rayonne des fronts d’onde circulaires nets exactement à la vitesse de la lumière.

Fronts d’onde électromagnétiques concentriques rayonnant depuis une source ponctuelle à travers la grille — Le héros : une source ponctuelle rayonnant des fronts d’onde électromagnétiques concentriques à travers la grille de Yee — le champ électrique progressant vers l’extérieur à la vitesse de la lumière, exactement comme l’exigent les équations de Maxwell. Tout le programme est construit sur cette mise à jour ; tout le reste consiste à mettre des obstacles sur le chemin de l’onde.

Mettez du verre sur le chemin et l’onde ralentit et se courbe.

Déposez une région à permittivité plus élevée — verre, eau, tout diélectrique — dans la grille et l’onde ralentit à l’intérieur. Une partie se réfléchit à l’interface, une partie se transmet avec une longueur d’onde comprimée, et le rapport des longueurs d’onde est exactement l’indice de réfraction √εr — la loi de Snell, émergeant de la mise à jour du champ sans qu’aucune loi de réfraction ne soit codée. Le solveur la reproduit à quelques pour cent près, erreur de dispersion comprise.

Une onde entrant dans une région à permittivité plus élevée, se réfléchissant et se transmettant partiellement avec une longueur d’onde plus courte — Réfraction à partir des premiers principes : une onde traversant vers un diélectrique (moitié droite) se réfléchit partiellement et se transmet avec une longueur d’onde comprimée ; le rapport des longueurs d’onde est l’indice de réfraction. La loi de Snell n’est pas programmée — elle découle de la résolution des équations de Maxwell sur la grille.

Une onde plane traversant une fente étroite et se propageant en fronts d’onde circulaires de Huygens — Diffraction : une onde plane frappant un écran conducteur avec une fente étroite ne projette pas une ombre nette — elle se propage en fronts d’onde circulaires au-delà de l’ouverture, chaque point de la fente agissant comme une nouvelle source. Le principe de Huygens, observé directement.

Un conducteur projette une ombre et diffuse le reste.

Envoyez une onde plane sur un cylindre conducteur et deux choses se produisent à la fois : un motif d’onde stationnaire se forme à l’avant tandis que les ondes incidente et réfléchie interfèrent, et une ombre calme se forme à l’arrière. Diffusion et ombrage sont la façon dont le radar voit, dont l’environnement d’une antenne la déforme, et dont une forme furtive est jugée — et ils découlent directement du fait de forcer le champ à zéro sur le conducteur.

Une onde plane se diffusant sur un cylindre conducteur, avec interférence à l’avant et une ombre à l’arrière — Diffusion : une onde plane frappant un cylindre conducteur construit un motif d’interférence à l’avant et laisse une ombre à l’arrière. La même physique qui permet au radar de détecter une cible et qui oblige les concepteurs d’antennes à tenir compte de tout ce qui se trouve près de l’ouverture — résolue sur la grille.

Fermez la boîte et seules certaines notes survivent.

Piégez le champ dans une boîte conductrice et il ne peut pas rayonner au loin — il résonne plutôt aux fréquences de résonance de la cavité, l’équivalent électromagnétique des notes d’un tuyau d’orgue. Envoyez une impulsion large bande et transformez la réponse par Fourier, et les pics du spectre tombent sur les modes analytiques de la cavité à moins d’un demi pour cent près ; pilotez-la à une résonance et le motif de mode stationnaire correspondant remplit la boîte. Résonateurs, filtres et guides d’onde vivent tous sur cette physique.

Le motif de mode stationnaire d’une cavité résonante pilotée à sa fréquence fondamentale — Résonance de cavité : pilotée à sa fondamentale, une boîte conductrice résonne dans le mode stationnaire TM₁₁ — un unique ventre central. Les fréquences de résonance mesurées correspondent aux modes de cavité analytiques à 0,5 % près. La base de chaque résonateur, filtre et guide d’onde micro-ondes.

Chaque chiffre redérivé à la validation finale.

Le notebook de V&V reconstruit le solveur depuis zéro et redérive chaque exigence face à la théorie, en imprimant un tableau RÉUSSI/ÉCHEC.

Résultat

Vitesse de l’onde (pas magique) : 1,000
Stabilité de Courant : bornée
Longueur d’onde contre c/f : +3,7 %
Indice de Snell contre √εr : 2,05 contre 2,00
Résonance de cavité : 0,5 %

Exigence

Vitesse de l’onde (pas magique) : R-01 = 1,000
Stabilité de Courant : R-02
Longueur d’onde contre c/f : R-03
Indice de Snell contre √εr : R-04
Résonance de cavité : R-05

Un véritable solveur de champ, à fidélité pédagogique.

Le livrable est dix notebooks et le dossier — un champ de Maxwell discrétisé, pas un réseau acausal localisé, donc pas de bloc personnalisé ni de canevas. Le solveur est en 2D (transverse magnétique), en unités normalisées, à résolution de grille modeste — donc avec une dispersion numérique mesurable ; le cylindre et les écrans utilisent des frontières conductrices en escalier, la frontière absorbante est un bord dissipatif effilé plutôt qu’une PML à champ scindé complète, et les milieux sont non dispersifs et linéaires. Ce que le programme démontre est la capacité qui manquait au portefeuille à côté de la CFD — résoudre les équations de Maxwell comme un champ sur une grille — avec un solveur autonome (sans dépendance EM externe) qui reproduit le rayonnement, la réfraction, la diffraction, la diffusion et la résonance, chaque chiffre réexécutable et vérifié face à la théorie. Il se marie naturellement avec le radar SAR phare.