Finanza quantitativaMetodi di ingegneria

Finanza stocastica e quantitativa

Simulazione guidata dalla casualità — moto browniano, equazioni differenziali stocastiche e Monte Carlo. Prezzi di opzioni che convergono a Black–Scholes, riduzione della varianza, esotiche path-dependent, le greche, il Value-at-Risk, e un volatility smile: il paradigma del calcolo stocastico che nient’altro nel portfolio tocca.

DjiniousLabModellazione e simulazione

Una stima Monte Carlo del prezzo di un’opzione che converge sulla linea di Black–Scholes al crescere del numero di percorsi simulati, con una banda di confidenza che si restringe

Prezzo Monte Carlo vs Black–Scholes: <0.5%Prezzo Monte Carlo vs Black–Scholes
tasso di convergenza (pendenza log–log): −0.50tasso di convergenza (pendenza log–log)
riduzione della varianza (meno percorsi, stessa accuratezza): 2.6×riduzione della varianza (meno percorsi, stessa accuratezza)
put–call parity e greche corrispondenti: esattoput–call parity e greche corrispondenti
notebook di progetto: 10notebook di progetto
requisiti PASS: 5 / 5requisiti PASS

Quando il futuro è una distribuzione, lo simuli.

Ogni altro modello di questo portfolio è deterministico: stessi input, stessa risposta. Ma il prezzo di un’azione, la perdita di un portafoglio, il payoff di un’opzione — questi sono casuali, e non puoi arrivarci integrando. Simuli migliaia di futuri possibili e fai la media. Questo programma costruisce quel paradigma stocastico — moto browniano, equazioni differenziali stocastiche, Monte Carlo — sulla sua applicazione canonica, la finanza quantitativa: prezzare opzioni e misurare il rischio, ancorato all’unico caso in cui esiste una risposta in forma chiusa, così che la simulazione possa essere considerata affidabile ovunque non esista.

Il prezzo di un’azione è una passeggiata casuale con drift.

Il moto browniano geometrico — il fondamento della finanza quantitativa — è un’equazione differenziale stocastica: un drift deterministico più una spinta casuale scalata dalla volatilità, integrata con lo schema di Eulero–Maruyama. Simulalo molte volte e i percorsi si aprono a ventaglio in un cono, i cui punti finali formano la distribuzione lognormale che sta alla base del pricing delle opzioni. Questa è la materia prima: non una traiettoria, ma un insieme di futuri possibili.

Un insieme di percorsi di prezzo azionario a moto browniano geometrico che si aprono a ventaglio da un punto di partenza comune — Moto browniano geometrico: ottanta percorsi di prezzo azionario simulati che si aprono a ventaglio dal prezzo odierno, la cui dispersione è fissata dalla volatilità e il cui centro dal drift. I prezzi terminali formano una distribuzione lognormale — l’insieme di futuri su cui ogni prezzo di opzione è una media.

Una stima Monte Carlo del prezzo di una call che converge sulla linea di Black–Scholes al crescere dei percorsi — Il protagonista: prezza una call europea mediando il suo payoff scontato sui percorsi simulati, e la stima Monte Carlo converge sul prezzo esatto di Black–Scholes al crescere del numero di percorsi, con la sua banda di confidenza al 95% che si restringe. Fai combaciare la formula dove ne esiste una — poi fidati del metodo dove non ne esiste nessuna.

L’accuratezza costa percorsi — a meno che tu non sia astuto.

L’errore Monte Carlo si riduce solo come 1/√N, quindi ogni cifra decimale in più di accuratezza costa cento volte i percorsi — la tassa centrale della simulazione stocastica. Le tecniche di riduzione della varianza la battono: variabili antitetiche e variabili di controllo raggiungono la stessa accuratezza con una frazione dei percorsi (un taglio dell’errore standard di 2,6× qui, che vale quasi 7 volte il lavoro). Conoscere questi trucchi è la differenza tra un pricer Monte Carlo utilizzabile e uno che non lo è.

Prezzi Monte Carlo di opzioni vanilla, asiatiche e barrier confrontati in un grafico a barre — Dove il Monte Carlo si guadagna il posto: le opzioni path-dependent — un’asiatica (a prezzo medio) e una barrier up-and-out — non hanno una forma chiusa semplice, quindi la simulazione è il pricer naturale. Prezzate rispetto alla call vanilla, ciascuna riflette la propria regola di payoff: sia la media sia il knock-out abbassano il prezzo dell’opzione.

Lo stesso motore misura quanto potresti perdere.

Punta la simulazione su un portafoglio invece che su una singola opzione e produce una distribuzione di profitti e perdite — e dalla sua coda, i numeri di rischio con cui vivono i regolatori e i risk desk: il Value-at-Risk (la perdita che non supererai il 95% o il 99% delle volte) e l’Expected Shortfall (la perdita media quando la superi). Il programma calcola entrambi, e mette a confronto una coda gaussiana Monte Carlo con una storica a coda pesante — la differenza che decide se un modello di rischio vede arrivare il crollo.

Una distribuzione di profitti e perdite di un portafoglio con la coda delle perdite ombreggiata e VaR ed Expected Shortfall segnati — Rischio di coda: la distribuzione simulata di profitti e perdite di un portafoglio con la coda del 5% delle perdite ombreggiata — il Value-at-Risk segna la soglia, l’Expected Shortfall la perdita media oltre quella soglia. Lo stesso motore stocastico che prezza un’opzione misura quanto potrebbe perdere un book.

I mercati reali non hanno un’unica volatilità.

Black–Scholes assume un’unica volatilità costante; i mercati reali delle opzioni no, e la prova è il volatility smile — la volatilità implicita che varia con lo strike. Un modello a volatilità stocastica (Heston), in cui la volatilità stessa è un processo casuale correlato al prezzo, lo riproduce: simula i processi accoppiati e la curva di volatilità implicita si inclina, e la distribuzione dei rendimenti sviluppa una coda sinistra pesante che il Black–Scholes piatto non coglie. La simulazione stocastica raggiunge ciò che le forme chiuse non possono.

Una curva di volatilità implicita di Heston che si inclina lungo gli strike rispetto a una linea piatta di Black–Scholes — Il volatility smile: un modello a volatilità stocastica di Heston produce una volatilità implicita che varia con lo strike (qui un’inclinazione verso il basso), contro l’unica linea piatta che il Black–Scholes a volatilità costante assume. Lasciare che la volatilità sia casuale recupera una caratteristica di mercato che il modello da manuale non può cogliere per costruzione.

Ogni numero ricavato di nuovo all’approvazione finale.

Il notebook di V&V ricostruisce ogni stimatore da zero con seed fissi e ricava di nuovo i requisiti rispetto alla teoria, stampando un quadro PASS/FAIL.

Risultato

Call MC vs Black–Scholes: 10,50 vs 10,45
Tasso di convergenza (log–log): −0,503
Riduzione della varianza (variabile di controllo): 2,6×
Put–call parity / delta: esatta / <0,01%
VaR95 / ES95 (book da 1 M$): 86 mila $ / 108 mila $

Requisito

Call MC vs Black–Scholes: R-01 ≤ 2·SE
Tasso di convergenza (log–log): R-02 ≈ −½
Riduzione della varianza (variabile di controllo): R-03 ≥ 2×
Put–call parity / delta: R-04
VaR95 / ES95 (book da 1 M$): R-05

Un paradigma stocastico, ancorato alla teoria.

Il deliverable è dieci notebook e il dossier — percorsi stocastici e stimatori Monte Carlo, non una rete acausale, quindi non c’è alcun blocco personalizzato né canvas. Le SDE usano lo schema di Eulero–Maruyama (non schemi di ordine superiore o esatti), il processo di base è un moto browniano geometrico a parametri costanti, il pricing è risk-neutral, il numero di percorsi è modesto per la velocità del notebook, e nulla è calibrato su dati di mercato reali — i numeri di rischio sono illustrativi, non di produzione. Ciò che il programma dimostra è il paradigma stesso: che la piattaforma simula sistemi stocastici, non solo deterministici — validato rispetto a Black–Scholes dove esiste una forma chiusa, e arrivando a opzioni path-dependent, rischio di coda e volatilità stocastica dove non esiste.